Анатолий Ашотович Айвазов родился 8 июня 1996 года во Владикавказе. Он футболист, вратарь клуба «Гандзасар». Анатолий стал чемпионом Армении и обладателем Кубка Армении. Он также выигрывал Суперкубок Армении.
Начало пути
Айвазов стал воспитанником московского «Локомотива» и подмосковного «Строгино». В составе московской команды он стал победителем Кубка РФС среди юношеских команд 1995 года рождения. В 2014 году вратарь перешёл в систему армянского «Пюника». 5 августа в матче против «Улисс II» он дебютировал за дублёров команды, а 13 сентября в игре против «Арарата» состоялся его дебют за основной состав.
«Пюник»
По итогам сезона 2014/2015 Айвазов провёл 24 матча в национальном чемпионате. Его команда стала обладателем «золотого дубля», выиграв чемпионат и Кубок Армении. Для вратаря этот сезон стал первым полноценным на взрослом уровне. Так Анатолий закрепился в основном составе «Пюника».
«Ширак» и «Урарту»
Летом 2016 года Айвазов стал игроком клуба «Ширак». 6 августа он дебютировал за новый клуб в поединке против «Пюника». По итогам сезона вратарь стал обладателем национального Кубка и Суперкубка Армении. В июле 2018 года он перешёл в «Бананц», который в августе следующего года был переименован в «Урарту». 8 апреля Анатолий провёл первый матч за этот клуб против «Ширака».
«Ноа» и «Алашкерт»
Спустя пять лет в «Урарту» Айвазов перешёл в «Ноа». 6 августа 2022 года он дебютировал за клуб в матче против «Лернаин Арцах». Зимой 2023 года вратарь покинул команду на правах свободного агента. 29 марта 2023 года он стал игроком российской «Чайки» из Песчанокопского, а 1 апреля впервые попал в заявку на матч Второй лиги против «Форте». В июле 2023 года Анатолий на правах свободного агента стал игроком «Алашкерта» и дебютировал за него 4 ноября в матче против «Ширака».
